distribucion triangular

En probabilidad y estadística, la distribución triangular es la distribución de probabilidad continua que tiene un valor mínimo a, un valor máximo b y una moda c, de modo que la Función de densidad de probabilidad es cero para los extremos (a y b), y afín entre cada extremo y la moda, por lo que su gráfico es un triángulo.

La función densidad de probabilidad es

parametros:

b: b > a

c: a <=c<= b

soporte: a <=x<= b

funcion de probabilidad acumulada: 

varianza : 

La Distribución Triangular es habitualmente empleada como una descripción subjetiva de una población para la que sólo se cuenta con una cantidad limitada de datos muestrales y, especialmente en casos en que la relación entre variables 

distribucion geometrica o de pascal

Definamos una experiencia aleatoria cuyo resultado sólo puede ser el suceso A o su complementario Ac, y que se repite secuencialmente hasta que aparece el suceso A por primera vez. Definamos la variable aleatoria X como el número de veces que repetimos la experiencia en condiciones independientes hasta que se dé A por primera vez. Bajo estas condiciones, decimos que la variable X sigue una distribución geométrica o de Pascal de parámetro p = P(A). La función de densidad puede deducirse fácilmente de la definición: f(k) = P[X = k] = (1 − p)k p                 k = 0, 1, 2, ... En el programa siguiente podéis ver su forma y obtener los valores de la función de densidad y de la de distribución:

Algunas puntualizaciones de la definición de X:

·         Notése que, en esta definición, condiciones independientes significa que p, la probabilidad de A, y 1 − p, la de su complementarioA^c, no varían a lo largo de las sucesivas repeticiones de la experiencia.

·         Tal y como la hemos definido, X se refiere al número de lanzamientos hasta que se produce A, pero sin contabilizar el último caso en que se da A. Por dicha razón X puede tomar los valores k = 0, 1, 2, ... con probabilidad no nula.

Un ejemplo de este modelo podría ser la experiencia consistente en lanzar sucesivamente un dado regular hasta que aparezca el número 6. Si definimos la variable aleatoria X como el número de lanzamientos de un dado regular hasta que aparezca un 6, queda claro que Xsigue una distribución geométrica de parámetro p = 1/6.


Propiedades del modelo Geométrico o de Pascal
1) Esperanza: E(X) = (1 − p)/p
2) Varianza: V(X) = (1 − p)/p²

distribucion gamma

Este modelo es una generalización del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para modelar  variables que describen el tiempo hasta que se produce p veces un determinado suceso.

Su función de densidad es de la forma:

Como vemos, este modelo depende de dos parámetros positivos: α y p. La función Γ(p) es la denominada función Gamma de Euler que representa la siguiente integral:}

que verifica Γ(p + 1) = pΓ(p), con lo que, si p es un número entero positivo, Γ(p + 1) = p!

El siguiente programa permite visualizar la forma de la función de densidad de este modelo (para simplificar, se ha restringido al caso en que p es un número entero).

Propiedades de la distribución Gamma

1. Su esperanza es pα.
    
2. Su varianza es pα²
    
3. La distribución Gamma (α, p = 1) es una distribución Exponencial de parámetro α. Es decir, el modelo Exponencial es un caso particular de la Gamma con p = 1.
    
4. Dadas dos variables aleatorias con distribución Gamma y parámetro α común 

 X ~ G(α, p₁) y Y ~ G(α, p₂)

se cumplirá que la suma también sigue una distribución Gamma 

 X + Y ~ G(α, p₁ + p₂).

Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si tenemos k variables aleatorias con distribución Exponencial de parámetro α (común) e independientes, la suma de todas ellas seguirá una distribución G(α, k).

distribucion normal

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.
En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".
En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.

·         Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,…) de una especie, p. ejm. Tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros…

·         Caracteres fisiológicos, por ejemplo; efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.

·         Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de  examen .

·         Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio……

·         Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

·         Valores estadísticos maestrales, por ejemplo: la media.

·         Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales…

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

3. Función De Densidad

Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dando por la fórmula

Función De Una Distribución

·         Puede tomar cualquier valor (- ∞ ,+ ∞ )

·         Son más probables los valores cercanos a uno central que llamados media

·         Conforme nos separamos de ese valor µ , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica).

·         Conforma nos separamos de ese valor µ , la probabilidad va decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de un parámetro s , que es la desviación típica.

distribucion weibull

Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de este modelo viene dada por:

que, como vemos, depende de dos parámetros: α > 0 y β > 0, donde α es un parámetro de escala y β es un parámetro de forma (lo que proporciona una gran flexibilidad a este modelo).

La función de distribución se obtiene por la integración de la función de densidad y vale:

El siguiente programa permite visualizar la forma de la función de densidad de este modelo y el valor de la función de distribución:

Propiedades de la distribución Weibull

1.    Si tomamos β = 1 tenemos una distribución Exponencial.

2.    Su esperanza vale:

3.    Su varianza vale:

distribucion lognormal

Se X1, X2, …., Xk una muestra aleatoria de una variable aleatoria lognormal. Una variable digamos X, distribuye lognormal, cuando los logaritmos naturales de dichas variables ln(X1), ln(X2), …., ln(Xk) una variable digamos X se describen mediante una distribución normal con media µ y desviación estándar σ finita. Es el caso en el que las variaciones en la fiabilidad de una misma clase de componentes técnicos se representan considerando la tasa de fallos aleatoria en lugar de una variable constante.
Es la distribución natural a utilizar cuando las desviaciones a partir del valor del modelo están formadas por factores, proporciones o porcentajes más que por valores absolutos como es el caso de la distribución normal. La distribución lognormal tiene dos parámetros en el ln(X) como µ y σ, sin embargo la variable original tiene los siguientes parámetros:

μ_X=E(X)=e^(μ+σ^2/2)
σ_X^2=V(X)=e^(2μ+σ^2 ) (e^(σ^2 )-1)

Propiedades

La distribución lognormal se caracteriza por las siguientes propiedades:

 Asigna a valores a las tasas y probabilidades de fallo que de esta forma sólo pueden ser positivas.

 Como depende de dos parámetros, según se verá, se ajusta bien a un gran número de distribuciones empíricas.

 Es idónea para parámetros que son a su vez producto de numerosas cantidades aleatorias (múltiples efectos que influyen sobre la fiabilidad de un componente).

 La esperanza matemática o media en la distribución lognormal es mayor que su mediana. De este modo da más importancia a los valores grandes de las tasas de fallo que una distribución normal con los mismos percentiles del 5% y 50% tendiendo, por tanto, a ser pesimista.

APLICACIONES

La distribución lognormal se ajusta a ciertos tipos de fallos (fatiga de componentes metálicos), vida de los aislamientos eléctricos, procesos continuos (procesos técnicos) y datos de reparación y puede ser una buena representación de la distribución de los tiempos de reparación. Es también una distribución importante en la valoración de sistemas con reparación.

La distribución lognormal es importante en la representación de fenómenos de efectos Proporcionales, tales como aquellos en los que un cambio en la variable en cualquier punto de un proceso es una proporción aleatoria del valor previo de la variable. Algunos fallos en el programa de mantenimiento entran en esta categoría.

Según hemos visto, la distribución lognormal es aquella en que el logaritmo de la variable está distribuida normalmente. Por tanto podemos obtener la función densidad de probabilidad de la distribución lognormal a partir de la distribución normal mediante la transformación Y=Ln(X):

f(x)=1/(√2π σx) exp[-(ln(x)-μ)^2/(2σ^2 )], Para x>0

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña .  
Proceso experimental del que se puede hacer derivar
    Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características
· Se observa la realización de hechos de cierto tipo durante un cierto periodo de tiempo o a lo largo de un espacio de observación
· Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria ; pueden producirse o no de una manera no determinística.
· La probabilidad de que se produzcan un número x de éxitos en un intervalo de amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, sí de su amplitud)
· La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitésimo es prácticamente proporcional a la amplitud del intervalo.
· La probabilidad de que se produzcan 2 o más hechos en un intervalo infinitésimo es un infinitésimo de orden superior a dos.
En consecuencia, en un intervalo infinitésimo podrán producirse O ó 1 hecho pero nunca más de uno
· Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria X signifique o designe el "número de hechos que se producen en un intervalo de tiempo o de espacio", la variable X se distribuye con una distribución de parámetro l . Así : x=p(landa)

El parámetro de la distribución es, en principio, el factor de proporcionalidad para la probabilidad de un hecho en un intervalo infinitésimo. Se le suele designar como parámetro de intensidad , aunque más tarde veremos que se corresponde con el número medio de hechos que cabe esperar que se produzcan en un intervalo unitario (media de la distribución); y que también coincide con la varianza de la distribución.
    Por otro lado es evidente que se trata de un modelo discreto y que el campo de variación de la variable será el conjunto de los número naturales, incluido el cero:    xE[0,1,2,3,4.-------]

Función de cuantía
        A partir de las hipótesis del proceso, se obtiene una ecuación diferencial de definición del mismo que puede integrarse con facilidad para obtener la función de cuantía de la variable "número de hechos que ocurren en un intervalo unitario de tiempo o espacio "
                                                              Que sería :         

distribucion bernoulli

Experimento Bernoulli

Las características de un experimento aleatorio Bernoulli son:

1.El experimento tiene solamente dos posibles resultados mutuamente excluyente denominados éxito (E) y fracaso (F). de esta manera el espacio muestral es dado por:

2.La probabilidad de éxito y fracaso son constantes y se denotan por p y q (q=1-p) respectivamente 

Variable aleatoria Bernoulli y su función de probabilidad

Una variable aleatoria Bernoulli  se define como el resultado numérico de una prueba Bernoulli

o de manera formal como una función  

X:    S  

EXITO :           1 

                    FRACASO:    0

y asi el rango de la variable aleatoria es (1,0) el cual es denotado como X: {1,0}

Una variable aleatoria de Bernoulli, por sí sola, tiene poco interés en las aplicaciones de ingeniería. En cambio la realización de una serie de experimentos bernhoulli conduce a varias distribuciones de probabilidad discretas muy útiles.

La función de probabilidad de una variable bernoulli es dada por

donde :

p: es la probabilidad de éxito en una sola prueba

x: es el número de éxitos en la prueba

el parametro 0<=p<=1

Media y Varianza

La media y varianza de una variable aleatoria bernoulli son respectivamente

distribucion binomial

La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número"n" de veces el experimento de Bernouiili, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre:

0: si todos los experimentos han sido fracaso

n: si todos los experimentos han sido éxitos

La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo:

distribucion exponencial

la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas; es continua porque el tiempo entre llegadas no tiene que ser un número entero. Esta distribución se utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos. Más específicamente la variable aleatoria que representa al tiempo necesario para servir a la llegada.

Se pueden calcular una variable aleatoria de distribución exponencial  por medio de una variable aleatoria de distribución uniforme

o, dado que

 es también una variable aleatoria con distribución 

, puede utilizarse la versión más eficiente:

distribucion de probabilidad uniforme

La distribución Uniforme es el modelo (absolutamente) continuo más simple. Corresponde al caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos a y b, de manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la misma probabilidad.

La Distribución Uniforme se puede aplicar para variables de tipo:

·         Discretas

·         Continuas

       Hemos definido que una variable aleatoria X Es discreta si I_X es un conjunto finito o infinito numerable. En la práctica las variables aleatorias discretas sirven como modelos para hacer inferencias estadísticas cuando los datos que se recogen son enteros (generalmente el "número de algo"). Pero cuando los datos que se registran son continuos (por ejemplo estatura de una persona, contenido de glucosa en una solución , porcentaje de hierro en un mineral, tiempo desde que un enfermo comienza un tratamiento hasta que se observa una mejoría o un empeoramiento, o tiempo de duración de una lamparita hasta que falla), se usan otro tipo de variables aleatorias como modelo probabilístico: las variables aleatorias continuas.

Distribución Uniforme Discreta

       Es la más sencilla de las distribuciones discretas. En teoría de probabilidad la distribución uniforme discreta es una distribución de Probabilidad la cual asume un numero finito de valores con la misma probabilidad donde todos los elementos de un conjunto finito son equiprobables.

FORMULACIÓN 

Función de densidad:

Donde:

a = mínimo valor de la distribución

b = máximo valor de la distribución

b – a = Rango de la distribución

La media, valor medio esperado o esperanza matemática de una distribución uniforme se calcula empleando la siguiente fórmula:

La varianza de una distribución uniforme se calcula empleando la siguiente fórmula: