distribucion lognormal

Se X1, X2, …., Xk una muestra aleatoria de una variable aleatoria lognormal. Una variable digamos X, distribuye lognormal, cuando los logaritmos naturales de dichas variables ln(X1), ln(X2), …., ln(Xk) una variable digamos X se describen mediante una distribución normal con media µ y desviación estándar σ finita. Es el caso en el que las variaciones en la fiabilidad de una misma clase de componentes técnicos se representan considerando la tasa de fallos aleatoria en lugar de una variable constante.
Es la distribución natural a utilizar cuando las desviaciones a partir del valor del modelo están formadas por factores, proporciones o porcentajes más que por valores absolutos como es el caso de la distribución normal. La distribución lognormal tiene dos parámetros en el ln(X) como µ y σ, sin embargo la variable original tiene los siguientes parámetros:

μ_X=E(X)=e^(μ+σ^2/2)
σ_X^2=V(X)=e^(2μ+σ^2 ) (e^(σ^2 )-1)

Propiedades

La distribución lognormal se caracteriza por las siguientes propiedades:

 Asigna a valores a las tasas y probabilidades de fallo que de esta forma sólo pueden ser positivas.

 Como depende de dos parámetros, según se verá, se ajusta bien a un gran número de distribuciones empíricas.

 Es idónea para parámetros que son a su vez producto de numerosas cantidades aleatorias (múltiples efectos que influyen sobre la fiabilidad de un componente).

 La esperanza matemática o media en la distribución lognormal es mayor que su mediana. De este modo da más importancia a los valores grandes de las tasas de fallo que una distribución normal con los mismos percentiles del 5% y 50% tendiendo, por tanto, a ser pesimista.

APLICACIONES

La distribución lognormal se ajusta a ciertos tipos de fallos (fatiga de componentes metálicos), vida de los aislamientos eléctricos, procesos continuos (procesos técnicos) y datos de reparación y puede ser una buena representación de la distribución de los tiempos de reparación. Es también una distribución importante en la valoración de sistemas con reparación.

La distribución lognormal es importante en la representación de fenómenos de efectos Proporcionales, tales como aquellos en los que un cambio en la variable en cualquier punto de un proceso es una proporción aleatoria del valor previo de la variable. Algunos fallos en el programa de mantenimiento entran en esta categoría.

Según hemos visto, la distribución lognormal es aquella en que el logaritmo de la variable está distribuida normalmente. Por tanto podemos obtener la función densidad de probabilidad de la distribución lognormal a partir de la distribución normal mediante la transformación Y=Ln(X):

f(x)=1/(√2π σx) exp[-(ln(x)-μ)^2/(2σ^2 )], Para x>0